Задание №5520.
Решение уравнений и неравенств. ОГЭ по математике
Решите уравнение $$ (x-4)^4-4(x-4)^2-21 = 0. $$
Пояснение:
Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, имеющие вид
ax4 +
bx2 +
c = 0.
Уравнения вида
ax4 +
bx2 +
c = 0, где \( a \ne 0, \) являющиеся квадратными относительно
x2, называют биквадратными уравнениями.
Введем новую переменную. Обозначим \( (x-4)^2 \) через
y. Получим квадратное уравнение с переменной
y: $$ y^2 - 4y - 21 = 0. $$ Дискриминант в данном случае равен: $$ D = b^2 - 4ac = $$ $$ = 16 + 4 \cdot 21 = 100. $$ Тогда получим: $$ x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a} = $$ $$ = {4 \pm 10 \over 2}. $$ $$ y_1 = 7, y_2 = -3. $$ Значит, \( (x-4)^2 = 7 \) или \( (x-4)^2 = -3. \)
Преобразуем первое уравнение: $$ (x-4)^2 = 7, $$ $$ x^2-8x+16=7, $$ $$ x^2-8x+9=0. $$ Дискриминант данного уравнения равен: $$ D = b^2 - 4ac = $$ $$ = 64 - 4 \cdot 9 = 28. $$ Тогда получим: $$ x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a} = $$ $$ = {8 \pm 2\sqrt{7} \over 2}. $$ $$ x_1 = {8 + 2\sqrt{7} \over 2} = 4 + \sqrt{7}, $$ $$ x_2 = {8 - 2\sqrt{7} \over 2} = 4 - \sqrt{7}. $$ Преобразуем второе уравнение: $$ (x-4)^2 = -3, $$ $$ x^2-8x+19=0. $$ Дискриминант в данном случае равен: $$ D = b^2 - 4ac = $$ $$ = 64 - 4 \cdot 19 = -12. $$ Следовательно, уравнение \( (x-4)^2 = -3 \) не имеет корней, так как
D < 0.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: \( 4 + \sqrt{7} \) и \( 4 - \sqrt{7}. \)
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями