Задание №5523. Решите неравенство $$ {-13 \over (x-4)^2-6} \ge 0. $$


Задание №5523.
Решение уравнений и неравенств. ОГЭ по математике

Решите неравенство $$ {-13 \over (x-4)^2-6} \ge 0. $$

Пояснение:
Если в рациональном неравенстве обе части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое неравенство называется дробно-рациональным неравенством.

Пусть \( P(x) \) и \( Q(x) \) — многочлены. Так как неравенство \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \ \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) равносильно неравенству \( P(x)Q(x) > 0 \) \( (P(x)Q(x) < 0) \), то для его решения можно использовать метод интервалов.

Множество решений неравенства \( {P(x) \over Q(x)} \ge 0 \) \( \Big({P(x) \over Q(x)} \le 0 \Big) \) — объединение множеств решений неравенства \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \) \( \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) и уравнения \( {P(x) \over Q(x)} = 0. \)

Раскрыв скобки в знаменателе, получим: $$ {-13 \over (x-4)^2-6} \ge 0, $$ $$ {-13 \over x^2-8x+16-6} \ge 0, $$ $$ {-13 \over x^2-8x+10} \ge 0. $$ Найдем корни квадратного уравнения в знаменателе: $$ x^2-8x+10 = 0. $$ Дискриминант в данном случае равен: $$ D = b^2 - 4ac = $$ $$ = 64 - 4 \cdot 10 = 24. $$ Тогда получим: $$ x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a} = $$ $$ = {8 \pm \sqrt{24} \over 2} = $$ $$ = {8 \pm 2\sqrt{6} \over 2} = 4 \pm \sqrt{6}. $$ $$ x_1 = 4+\sqrt{6}, $$ $$ x_2 = 4-\sqrt{6}. $$ Отметим на координатной прямой найденные корни и определим знак дроби в каждом из образовавшихся интервалов:


Следовательно, множество решений неравенства состоит из интервала \( \Big(4-\sqrt{6}; 4+\sqrt{6}\Big). \)

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями