Задание №5524.
Решение уравнений и неравенств. ОГЭ по математике
Решите неравенство $$ {-11 \over (x-2)^2-3} \ge 0. $$
Пояснение:
Если в рациональном неравенстве обе части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое неравенство называется
дробно-рациональным неравенством.
Пусть \( P(x) \) и \( Q(x) \) — многочлены. Так как неравенство \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \ \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) равносильно неравенству \( P(x)Q(x) > 0 \) \( (P(x)Q(x) < 0) \), то для его решения можно использовать метод интервалов.
Множество решений неравенства \( {P(x) \over Q(x)} \ge 0 \) \( \Big({P(x) \over Q(x)} \le 0 \Big) \) — объединение множеств решений неравенства \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \) \( \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) и уравнения \( {P(x) \over Q(x)} = 0. \)
Раскрыв скобки в знаменателе, получим: $$ {-11 \over (x-2)^2-3} \ge 0, $$ $$ {-11 \over x^2-4x+4-3} \ge 0, $$ $$ {-11 \over x^2-4x+1} \ge 0. $$ Найдем корни квадратного уравнения в знаменателе: $$ x^2-4x+1 = 0. $$ Дискриминант в данном случае равен: $$ D = b^2 - 4ac = $$ $$ = 16 - 4 = 12. $$ Тогда получим: $$ x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a} = $$ $$ = {4 \pm \sqrt{12} \over 2} = $$ $$ = {4 \pm 2\sqrt{3} \over 2} = 2 \pm \sqrt{3}. $$ $$ x_1 = 2+\sqrt{3}, $$ $$ x_2 = 2-\sqrt{3}. $$ Отметим на координатной прямой найденные корни и определим знак дроби в каждом из образовавшихся интервалов:
Следовательно, множество решений неравенства состоит из интервала \( \Big(2-\sqrt{3}; 2+\sqrt{3}\Big). \)
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями