Задание №5528. Решите неравенство $$ {-14 \over (x-5)^2-2} \ge 0. $$


Задание №5528.
Решение уравнений и неравенств. ОГЭ по математике

Решите неравенство $$ {-14 \over (x-5)^2-2} \ge 0. $$

Пояснение:
Если в рациональном неравенстве обе части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое неравенство называется дробно-рациональным неравенством.

Пусть \( P(x) \) и \( Q(x) \) — многочлены. Так как неравенство \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \ \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) равносильно неравенству \( P(x)Q(x) > 0 \) \( (P(x)Q(x) < 0) \), то для его решения можно использовать метод интервалов.

Множество решений неравенства \( {P(x) \over Q(x)} \ge 0 \) \( \Big({P(x) \over Q(x)} \le 0 \Big) \) — объединение множеств решений неравенства \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \) \( \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) и уравнения \( {P(x) \over Q(x)} = 0. \)

Раскрыв скобки в знаменателе, получим: $$ {-14 \over (x-5)^2-2} \ge 0, $$ $$ {-14 \over x^2-10x+25-2} \ge 0, $$ $$ {-14 \over x^2-10x+23} \ge 0. $$ Найдем корни квадратного уравнения в знаменателе: $$ x^2-10x+23 = 0. $$ Дискриминант в данном случае равен: $$ D = b^2 - 4ac = $$ $$ = 100 - (4 \cdot 23) = 8. $$ Тогда получим: $$ x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a} = $$ $$ = {10 \pm \sqrt{8} \over 2} = $$ $$ = {10 \pm 2\sqrt{2} \over 2} = 5 \pm \sqrt{2}. $$ $$ x_1 = 5+\sqrt{2}, $$ $$ x_2 = 5-\sqrt{2}. $$ Отметим на координатной прямой найденные корни и определим знак дроби в каждом из образовавшихся интервалов:


Следовательно, множество решений неравенства состоит из интервала \( \Big(5-\sqrt{2}; 5+\sqrt{2}\Big). \)

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями