Задание №5541. Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.


Задание №5541.
Задачи разных типов. ОГЭ по математике

Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пояснение:
Дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого — рациональные выражения, причем хотя бы одно из них является дробным выражением.

При решении дробных рациональных уравнений обычно поступают следующим образом:

1) Находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2) Умножают обе части уравнения на этот знаменатель;

3) Решают получившееся целое уравнение;

4) Исключат из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.

Пусть x км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде. Поскольку при равномерном движении время, за которое пройден путь, равно отношению пути к скорости, получим: $$ {60 \over x+5} + {60 \over x-5} = {30 \over 5} - 1, $$ $$ {60 \over x+5} + {60 \over x-5} = 5. $$ Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен \( (x+5)(x-5). \) Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим

60x – 300 + 60x + 300 = 5x2 – 125,

5x2 – 120x – 125 = 0,

x2 – 24x – 25 = 0,

Дискриминант в данном случае равен: $$ D = b^2 - 4ac = $$ $$ = 576 + 4 \cdot 25 = 676. $$ Тогда получим: $$ x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a} = $$ $$ = {24 \pm 26 \over 2}. $$ $$ x_1 = 25, x_2 = -1. $$ Проверим, не обращают ли найденные корни в нуль общий знаменатель дробей. Если \( x = 25, \) то \( (x+5)(x-5) \ne 0. \) Если \( x = -1, \) то \( (x+5)(x-5) \ne 0. \) Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: 25 и –1.

Так как скорость лодки в неподвижной воде не может быть отрицательной, получаем, что скорость лодки равна 25 км/ч.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями