Задание №5572. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, CF : DF = 4 : 3.


Задание №5572.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, CF : DF = 4 : 3.

Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники MCF и ACD.

Угол ACD у двух данных треугольников — общий.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Следовательно, \( \angle ADC = \angle MFC. \)

Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольники MCF и ACD — подобные.

Коэффициент подобия равен: $$ k = {CF \over CD} = {{4 \over 7} \over {7 \over 7}} = {4 \over 7}. $$ Тогда получим: $$ {MF \over AD} = k, $$ $$ MF = AD \cdot k, $$ $$ MF = 42 \cdot {4 \over 7} = 24. $$ Рассмотрим параллельные прямые BC, EF, AD и секущую AC.

Согласно теореме о пропорциональных отрезках параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Следовательно, $$ {CF \over DF} = {CM \over MA} = {4 \over 3}. $$ Аналогично получаем, что $$ {CM \over MA} = {BE \over EA} = {4 \over 3}. $$ Рассмотрим треугольники ABC и AEM. Так как угол BAC — общий, а углы BCA и EMA равны как соответственные, получаем, что треугольники ABC и AEM — подобные.

Коэффициент подобия равен: $$ k = {EA \over BA} = {{3 \over 7} \over {7 \over 7}} = {3 \over 7}. $$ Тогда получим: $$ {EM \over BC} = k, $$ $$ EM = BC \cdot k, $$ $$ EM = 14 \cdot {3 \over 7} = 6. $$ Следовательно, $$ EF = EM + MF, $$ $$ EF = 6 + 24 = 30. $$

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями