Задание №5572.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Прямая, параллельная основаниям трапеции
ABCD, пересекает её боковые стороны
AB и
CD в точках
E и
F соответственно. Найдите длину отрезка
EF, если
AD = 42,
BC = 14,
CF :
DF = 4 : 3.
Пояснение:
Два треугольника называются
подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом подобия.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем диагональ
AC и рассмотрим треугольники
MCF и
ACD.
Угол
ACD у двух данных треугольников — общий.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Следовательно, \( \angle ADC = \angle MFC. \)
Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольники
MCF и
ACD — подобные.
Коэффициент подобия равен: $$ k = {CF \over CD} = {{4 \over 7} \over {7 \over 7}} = {4 \over 7}. $$ Тогда получим: $$ {MF \over AD} = k, $$ $$ MF = AD \cdot k, $$ $$ MF = 42 \cdot {4 \over 7} = 24. $$ Рассмотрим параллельные прямые
BC,
EF,
AD и секущую
AC.
Согласно теореме о пропорциональных отрезках параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Следовательно, $$ {CF \over DF} = {CM \over MA} = {4 \over 3}. $$ Аналогично получаем, что $$ {CM \over MA} = {BE \over EA} = {4 \over 3}. $$ Рассмотрим треугольники
ABC и
AEM. Так как угол
BAC — общий, а углы
BCA и
EMA равны как соответственные, получаем, что треугольники
ABC и
AEM — подобные.
Коэффициент подобия равен: $$ k = {EA \over BA} = {{3 \over 7} \over {7 \over 7}} = {3 \over 7}. $$ Тогда получим: $$ {EM \over BC} = k, $$ $$ EM = BC \cdot k, $$ $$ EM = 14 \cdot {3 \over 7} = 6. $$ Следовательно, $$ EF = EM + MF, $$ $$ EF = 6 + 24 = 30. $$
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями