Задание №5575. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.


Задание №5575.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.

Пояснение:
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


AM и DH — высоты, проведенные от верхнего основания трапеции к нижнему.

Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. Развернутый угол равен 180°.

Углы называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие лежат на одной прямой.

\( \angle BCD \) и \( \angle DCH \) — смежные и вместе составляют развернутый угол, равный 180°. Следовательно, $$ \angle DCH = 180 - 120 = $$ $$ = 60^{\circ}. $$ Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Получаем, что $$ \sin DCH = {DH \over DC}. $$ Выразив высоту из данной формулы, получим: $$ DH = \sin DCH \cdot DC = $$ $$ = \sin 60^{\circ} \cdot 25 = $$ $$ = {\sqrt{3} \over 2} \cdot 25 = 12,5\sqrt{3}. $$ Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

\( \angle DHC \) и \( \angle AMB \) — соответственные и равны 90°, следовательно, AM || HD.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Следовательно, ADMH — параллелограмм. Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, получаем, что DH = AM.

Треугольник AMB — прямоугольный. Получаем, что $$ \sin ABM = {AM \over BA}. $$ Выразив боковую сторону трапеции из данной формулы, получим: $$ BA = {AM \over \sin ABM} = $$ $$ = {12,5\sqrt{3} \over {1 \over 2}} = 25\sqrt{3}. $$

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями