Задание №5576.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Точка
H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла
B треугольника
ABC к гипотенузе
AC. Найдите
AB, если
AH = 6,
AC = 24.
Пояснение:
Два треугольника называются
подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом подобия.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Рассмотрим треугольники
ABC и
BHC. \( \angle CBA = \angle BHC = 90^{\circ}, \) а \( \angle C \) — общий.
Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Поэтому треугольники
ABC и
BHC — подобные, из чего следует, что $$ {HC \over BC} = {BH \over BA} = {BC \over AC}. $$ Из равенства $$ {HC \over BC} = {BC \over AC} $$ получим, что $$ HC \cdot AC = BC \cdot BC, $$ $$ BC^2 = HC \cdot AC, $$ $$ BC = \sqrt{HC \cdot AC}. $$ Из условия нам известно, что
AC и
AH соответственно равны 24 и 6, следовательно,
HC = 24 – 6 = 18.
Имеем: $$ BC = \sqrt{18 \cdot 24} = $$ $$ = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}.$$
Тогда по теореме Пифагора получим: $$ AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}, $$ $$ AB = \sqrt{24^2 - \Big(12\sqrt{3}\Big)^2} = $$ $$ = \sqrt{144} = 12. $$
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями