Задание №5576. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.


Задание №5576.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.

Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Рассмотрим треугольники ABC и BHC. \( \angle CBA = \angle BHC = 90^{\circ}, \) а \( \angle C \) — общий.

Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Поэтому треугольники ABC и BHC — подобные, из чего следует, что $$ {HC \over BC} = {BH \over BA} = {BC \over AC}. $$ Из равенства $$ {HC \over BC} = {BC \over AC} $$ получим, что $$ HC \cdot AC = BC \cdot BC, $$ $$ BC^2 = HC \cdot AC, $$ $$ BC = \sqrt{HC \cdot AC}. $$ Из условия нам известно, что AC и AH соответственно равны 24 и 6, следовательно, HC = 24 – 6 = 18.

Имеем: $$ BC = \sqrt{18 \cdot 24} = $$ $$ = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}.$$

Тогда по теореме Пифагора получим: $$ AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}, $$ $$ AB = \sqrt{24^2 - \Big(12\sqrt{3}\Big)^2} = $$ $$ = \sqrt{144} = 12. $$

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями