Задание №5584. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.


Задание №5584.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.

Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Следовательно, \( \angle ACB = \angle MNB \) и \( \angle CAB = \angle NMB. \)

Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Поэтому треугольники MNB и ABC — подобные.

Коэффициент подобия двух данных треугольников равен: $$ {MN \over AC} = {13 \over 65} = {1 \over 5}.$$ Пусть x — сторона BN. Тогда BC = x + 28. Получим: $$ {BN \over BC} = {1 \over 5}, $$ $$ {x \over x+28} = {1 \over 5}. $$ Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим $$ 5x = x + 28, $$ $$ 4x = 28, $$ $$ x = 7. $$ Проверим, не обращает ли найденный корень в нуль общий знаменатель дробей. Если \( x = 7, \) то \( 5(x+28) \ne 0. \) Следовательно, исходное уравнение имеет один корень: 7.

Таким образом, сторона BN равна 7.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями