Задание №5585. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.


Задание №5585.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.

Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник вписанным в эту окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Поскольку четырехугольник KBCP вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°: \( \angle BKP + \angle BCP = 180^{\circ} \) и \( \angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}. \)

Углы называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.

Углы KPC и KPA — смежные и в сумме составляют 180 градусов: \( \angle KPC + \angle KPA = 180^{\circ}. \)

Поскольку углы KBC и KPC в сумме равны 180 градусов, и углы KPC и KPA в сумме равны 180 градусов, имеем равенство: $$ \angle KBC + \angle KPC = $$ $$ = \angle KPA + \angle KPC, $$ $$ \angle KBC = \angle KPA. $$ Рассмотрим треугольники AKP и ABC.

Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

У треугольников AKP и ABC угол А — общий, и как мы ранее выяснили, \( \angle KBC = \angle KPA. \) Следовательно, они подобные, из чего следует, что: $$ {KP \over BC} = {AP \over AB} = {AK \over AC}. $$ Преобразуем равенство $$ {KP \over BC} = {AK \over AC}, $$ $$ KP \cdot AC = AK \cdot BC. $$ Поделив обе части уравнения на BC, получим: $$ KP \cdot {AC \over BC} = AK. $$ Нам известно, что AK = 14, \( {AB \over BC} = 2. \) Тогда получим: $$ KP \cdot 2 = 14, $$ $$ KP = {14 \over 2} = 7. $$

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями