Задание №5585.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Окружность пересекает стороны
AB и
AC треугольника
ABC в точках
K и
P соответственно и проходит через вершины
B и
C. Найдите длину отрезка
KP, если
AK = 14, а сторона
AC в 2 раза больше стороны
BC.
Пояснение:
Два треугольника называются
подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом подобия.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется
описанной около многоугольника, а многоугольник
вписанным в эту окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Поскольку четырехугольник
KBCP вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°: \( \angle BKP + \angle BCP = 180^{\circ} \) и \( \angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}. \)
Углы называют
смежными, если одна сторона у них общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.
Углы
KPC и
KPA — смежные и в сумме составляют 180 градусов: \( \angle KPC + \angle KPA = 180^{\circ}. \)
Поскольку углы
KBC и
KPC в сумме равны 180 градусов, и углы
KPC и
KPA в сумме равны 180 градусов, имеем равенство: $$ \angle KBC + \angle KPC = $$ $$ = \angle KPA + \angle KPC, $$ $$ \angle KBC = \angle KPA. $$ Рассмотрим треугольники
AKP и
ABC.
Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
У треугольников
AKP и
ABC угол
А — общий, и как мы ранее выяснили, \( \angle KBC = \angle KPA. \) Следовательно, они подобные, из чего следует, что: $$ {KP \over BC} = {AP \over AB} = {AK \over AC}. $$ Преобразуем равенство $$ {KP \over BC} = {AK \over AC}, $$ $$ KP \cdot AC = AK \cdot BC. $$ Поделив обе части уравнения на
BC, получим: $$ KP \cdot {AC \over BC} = AK. $$ Нам известно, что
AK = 14, \( {AB \over BC} = 2. \) Тогда получим: $$ KP \cdot 2 = 14, $$ $$ KP = {14 \over 2} = 7. $$
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями