Задание №5587. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 30, CD = 40, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.


Задание №5587.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 30, CD = 40, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.

Пояснение:
Отрезок, соединяющий произвольные две точки окружности, называется хордой этой окружности.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром этой окружности.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Из условия нам известно, что OM — расстояние от центра окружности к хорде AB, а OH — расстояние от центра окружности к хорде CD. Следовательно, \( OM \perp AB \) и \( OH \perp CD. \)

Согласно теореме диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Поэтому AM = MB = 15 и CH = HD = 20.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMB. По теореме Пифагора получим: $$ BO^2 = MO^2 + MB^2, $$ $$ BO = \sqrt{MO^2 + MB^2}, $$ $$ BO = \sqrt{20^2 + 15^2} = $$ $$ = \sqrt{625} = 25. $$ Таким образом, радиус окружности равен 25.

Рассмотрим прямоугольный треугольник COH. Нам известно, что CO = 25, а CH = 20. Тогда по теореме Пифагора получим: $$ OH^2 = OC^2 - CH^2, $$ $$ OH = \sqrt{OC^2 - CH^2}, $$ $$ OH = \sqrt{25^2 - 20^2} = $$ $$ = \sqrt{225} = 15. $$ Следовательно, расстояние от центра окружности до хорды CD равно 15.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями