Задание №5588.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 25, BC = 15, CF : DF = 3 : 2.
Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники MCF и ACD.
Угол ACD у двух данных треугольников — общий.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Следовательно, \( \angle ADC = \angle MFC. \)
Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольники MCF и ACD — подобные.
Коэффициент подобия равен: $$ k = {CF \over CD} = {{3 \over 5} \over {5 \over 5}} = {3 \over 5}. $$ Тогда получим: $$ {MF \over AD} = k, $$ $$ MF = AD \cdot k, $$ $$ MF = 25 \cdot {3 \over 5} = 15. $$ Рассмотрим параллельные прямые BC, EF, AD и секущую AC.
Согласно теореме о пропорциональных отрезках параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Следовательно, $$ {CF \over DF} = {CM \over MA} = {3 \over 2}. $$ Аналогично получаем, что $$ {CM \over MA} = {BE \over EA} = {3 \over 2}. $$ Рассмотрим треугольники ABC и AEM. Так как угол BAC — общий, а углы BCA и EMA равны как соответственные, получаем, что треугольники ABC и AEM — подобные.
Коэффициент подобия равен: $$ k = {EA \over BA} = {{2 \over 5} \over {5 \over 5}} = {2 \over 5}. $$ Тогда получим: $$ {EM \over BC} = k, $$ $$ EM = BC \cdot k, $$ $$ EM = 15 \cdot {2 \over 5} = 6. $$ Следовательно, $$ EF = EM + MF, $$ $$ EF = 6 + 15 = 21. $$
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 25, BC = 15, CF : DF = 3 : 2.
Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники MCF и ACD.
Угол ACD у двух данных треугольников — общий.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Следовательно, \( \angle ADC = \angle MFC. \)
Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольники MCF и ACD — подобные.
Коэффициент подобия равен: $$ k = {CF \over CD} = {{3 \over 5} \over {5 \over 5}} = {3 \over 5}. $$ Тогда получим: $$ {MF \over AD} = k, $$ $$ MF = AD \cdot k, $$ $$ MF = 25 \cdot {3 \over 5} = 15. $$ Рассмотрим параллельные прямые BC, EF, AD и секущую AC.
Согласно теореме о пропорциональных отрезках параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Следовательно, $$ {CF \over DF} = {CM \over MA} = {3 \over 2}. $$ Аналогично получаем, что $$ {CM \over MA} = {BE \over EA} = {3 \over 2}. $$ Рассмотрим треугольники ABC и AEM. Так как угол BAC — общий, а углы BCA и EMA равны как соответственные, получаем, что треугольники ABC и AEM — подобные.
Коэффициент подобия равен: $$ k = {EA \over BA} = {{2 \over 5} \over {5 \over 5}} = {2 \over 5}. $$ Тогда получим: $$ {EM \over BC} = k, $$ $$ EM = BC \cdot k, $$ $$ EM = 15 \cdot {2 \over 5} = 6. $$ Следовательно, $$ EF = EM + MF, $$ $$ EF = 6 + 15 = 21. $$
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями