Задание №5591. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.


Задание №5591.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Пояснение:
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


MH — высота, проведенная через точку E от верхнего основания параллелограмма к нижнему.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: $$ S_{ABCD} = AD \cdot MH. $$ Значит половина площади параллелограмма равна: $$ {1 \over 2}S_{ABCD} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot MH. $$ Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, получаем, что площадь треугольника BEC равна: $$ S_{\triangle BEC} = {1 \over 2} \cdot BC \cdot ME = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot ME. $$ В свою очередь, площадь треугольника AED равна: $$ S_{\triangle AED} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot EH. $$ Так как MH = ME + EH, получаем, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна: $$ {1 \over 2} \cdot AD \cdot ME + $$ $$ + {1 \over 2} \cdot AD \cdot EH = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot (ME + EH) = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot MH. $$ Следовательно, сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями