Задание №5591.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Внутри параллелограмма
ABCD выбрали произвольную точку
E. Докажите, что сумма площадей треугольников
BEC и
AED равна половине площади параллелограмма.
Пояснение:
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
MH — высота, проведенная через точку
E от верхнего основания параллелограмма к нижнему.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: $$ S_{ABCD} = AD \cdot MH. $$ Значит половина площади параллелограмма равна: $$ {1 \over 2}S_{ABCD} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot MH. $$ Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, получаем, что площадь треугольника
BEC равна: $$ S_{\triangle BEC} = {1 \over 2} \cdot BC \cdot ME = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot ME. $$ В свою очередь, площадь треугольника
AED равна: $$ S_{\triangle AED} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot EH. $$ Так как
MH =
ME +
EH, получаем, что сумма площадей треугольников
BEC и
AED равна: $$ {1 \over 2} \cdot AD \cdot ME + $$ $$ + {1 \over 2} \cdot AD \cdot EH = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot (ME + EH) = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot MH. $$ Следовательно, сумма площадей треугольников
BEC и
AED равна половине площади параллелограмма.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями