Задание №5592. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны.


Задание №5592.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны.

Пояснение:
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Рассмотрим треугольник AC1C. Около всякого треугольника можно описать окружность. Опишем окружность около данного треугольника.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Угол AC1C — вписанный и опирается на полуокружность, следовательно, AC — диаметр данной окружности.

Рассмотрим треугольник AA1C. Опишем вокруг него окружность. Угол AA1C — вписанный и опирается на полуокружность, следовательно, AC — диаметр данной окружности.

Так как и в том, и в другом случае диаметр окружности равен стороне AC, окружности, описанные около треугольников AC1C и AA1C — совпадают.

Следовательно, вокруг четырехугольника AC1A1C описана окружность.

Углы CC1A1 и CAA1 вписанные и опираются на одну и ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, следовательно, \( \angle CC_1A_1 = \angle CAA_1. \)

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями