Задание №5592.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
В остроугольном треугольнике
ABC проведены высоты
AA1 и
CC1. Докажите, что углы
CC1A1 и
CAA1 равны.
Пояснение:
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Рассмотрим треугольник
AC1C. Около всякого треугольника можно описать окружность. Опишем окружность около данного треугольника.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется
вписанным углом.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.
Угол
AC1C — вписанный и опирается на полуокружность, следовательно,
AC — диаметр данной окружности.
Рассмотрим треугольник
AA1C. Опишем вокруг него окружность. Угол
AA1C — вписанный и опирается на полуокружность, следовательно,
AC — диаметр данной окружности.
Так как и в том, и в другом случае диаметр окружности равен стороне
AC, окружности, описанные около треугольников
AC1C и
AA1C — совпадают.
Следовательно, вокруг четырехугольника
AC1A1C описана окружность.
Углы
CC1A1 и
CAA1 вписанные и опираются на одну и ту же дугу.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, следовательно, \( \angle CC_1A_1 = \angle CAA_1. \)
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями