Задание №5593. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.


Задание №5593.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Рассмотрим треугольники DMC и MBA. Из условия нам известно, что углы CDB и BAM равны.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Углы CMD и BMA — вертикальные, следовательно они равны.

Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Поэтому треугольники DMC и MBA — подобные, из чего следует, что $$ {DC \over AB} = {DM \over MA} = {CM \over MB}. $$ Рассмотрим треугольники BMC и AMD. Углы BMC и AMD — вертикальные и поэтому равны.

Нам известно, что $$ {DM \over MA} = {CM \over MB}. $$ Преобразуем выражение: $$ DM \cdot MB = CM \cdot MA, $$ $$ {MA \over MB} = {DM \over CM}. $$ Согласно второму признаку подобия, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонами другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Поэтому треугольники BMC и AMD — подобные, из чего следует, что \( \angle BCA = \angle BDA. \)

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями