Задание №5593.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
В выпуклом четырёхугольнике
ABCD углы
CDB и
CAB равны. Докажите, что углы
BCA и
BDA также равны.
Пояснение:
Два треугольника называются
подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом подобия.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Рассмотрим треугольники
DMC и
MBA. Из условия нам известно, что углы
CDB и
BAM равны.
Два угла называются
вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
Углы
CMD и
BMA — вертикальные, следовательно они равны.
Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Поэтому треугольники
DMC и
MBA — подобные, из чего следует, что $$ {DC \over AB} = {DM \over MA} = {CM \over MB}. $$ Рассмотрим треугольники
BMC и
AMD. Углы
BMC и
AMD — вертикальные и поэтому равны.
Нам известно, что $$ {DM \over MA} = {CM \over MB}. $$ Преобразуем выражение: $$ DM \cdot MB = CM \cdot MA, $$ $$ {MA \over MB} = {DM \over CM}. $$ Согласно второму признаку подобия, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонами другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Поэтому треугольники
BMC и
AMD — подобные, из чего следует, что \( \angle BCA = \angle BDA. \)
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями