Задание №5595. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.


Задание №5595.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

Пояснение:
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Биссектрисой угла называется внутренний луч, делящий этот угол на два равных угла.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

В данном случае AD || BC, а BM и CM — секущие. Следовательно, \( \angle MBC = \angle AMB \) и \( \angle MCB = \angle CMD. \)

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Треугольники ABM и MCD — равнобедренные, так как у них углы при основании равны. Поскольку у параллелограмма противоположные стороны равны, получаем, что AB = AM = CD = MD.

Следовательно, M — середина AD, так как делит данную сторону пополам. Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями