Задание №5596. Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.


Задание №5596.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Пояснение:
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Проведем высоту от верхнего основания трапеции к нижнему через точку E.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: $$ S = {1 \over 2}MH (BC + AD). $$ Значит, половина площади трапеции равна: $$ {1 \over 4} MH (BC + AD). $$ Рассмотрим треугольники EMB и AEH. \( \angle MEB = \angle AEH, \) так как они вертикальные. \( \angle EBM = \angle EAH, \) так как они накрест лежащие.

Согласно второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Значит, треугольники EMB и AEH равны, из чего следует, что \( ME = EH. \)

Рассмотрим треугольник CEB. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Тогда получим: $$ S_{\triangle CEB} = {1 \over 2} \cdot BC \cdot EM. $$ Представив высоту EM как \( {1 \over 2}MH, \) получим: $$ S_{\triangle CEB} = {1 \over 4} \cdot BC \cdot MH. $$ Рассмотрим треугольник AED. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Тогда получим: $$ S_{\triangle AED} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot EH. $$ Представив высоту EH как \( {1 \over 2}MH, \) получим: $$ S_{\triangle AED} = {1 \over 4} \cdot AD \cdot MH. $$ Значит, сумма площадей треугольников CEB и AED равна половине площади трапеции: $$ {1 \over 4} \cdot BC \cdot MH + $$ $$ + {1 \over 4} \cdot AD \cdot MH = $$ $$ = {1 \over 4}MH(BC + AD). $$ Поскольку площадь трапеции равна сумме площадей треугольников CEB, AED и ECD, значит площадь треугольника ECD также равна половине площади трапеции. Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями