Задание №5597. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.


Задание №5597.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Пояснение:
Биссектрисой угла называется внутренний луч, делящий этот угол на два равных угла.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Рассмотрим прямоугольные треугольники OMB и OBH. Гипотенуза OB у них общая, и \( \angle MBO = \angle OBH. \)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Следовательно, \( \triangle OMB = \triangle OBH, \) из чего следует, что OM = OH.

Рассмотрим прямоугольные треугольники OHC и OCN. Они также равны, так как имеют общую гипотенузу OC и \( \angle HCO = \angle OCN, \) из чего следует, что OH = ON.

Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD, так как $$ OM = OH = ON. $$ Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями