Задание №5597.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Биссектрисы углов
B и
C трапеции
ABCD пересекаются в точке
O, лежащей на стороне
AD. Докажите, что точка
O равноудалена от прямых
AB,
BC и
CD.
Пояснение:
Биссектрисой угла называется внутренний луч, делящий этот угол на два равных угла.
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется
расстоянием от этой точки до прямой.
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Рассмотрим прямоугольные треугольники
OMB и
OBH. Гипотенуза
OB у них общая, и \( \angle MBO = \angle OBH. \)
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Следовательно, \( \triangle OMB = \triangle OBH, \) из чего следует, что
OM =
OH.
Рассмотрим прямоугольные треугольники
OHC и
OCN. Они также равны, так как имеют общую гипотенузу
OC и \( \angle HCO = \angle OCN, \) из чего следует, что
OH =
ON.
Следовательно, точка
O равноудалена от прямых
AB,
BC и
CD, так как $$ OM = OH = ON. $$ Что и требовалось доказать.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями