Задание №5598.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Известно, что около четырёхугольника
ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон
AD и
BC четырёхугольника пересекаются в точке
K. Докажите, что треугольники
KAB и
KCD подобны.
Пояснение:
Два треугольника называются
подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом подобия.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется
описанной около многоугольника, а многоугольник
вписанным в эту окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Так как нам известно, что около четырёхугольника
ABCD можно описать окружность, сумма его противоположных углов равна 180°: \( \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \) и \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}. \)
Углы называют
смежными, если одна сторона у них общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.
Углы
BCD и
DCK — смежные и в сумме составляют 180 градусов: \( \angle BCD + \angle DCK = 180^{\circ}. \)
Поскольку углы
BAD и
BCD в сумме равны 180 градусов, и углы
BCD и
DCK в сумме равны 180 градусов, имеем равенство: $$ \angle BAD + \angle BCD = $$ $$ = \angle BCD + \angle DCK, $$ $$ \angle BAD = \angle DCK. $$ Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
У треугольников
KAB и
KCD угол
K — общий, и как мы ранее выяснили, \( \angle BAD = \angle DCK. \) Следовательно, они подобные. Что и требовалось доказать.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями