Задание №5598. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.


Задание №5598.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник вписанным в эту окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Так как нам известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, сумма его противоположных углов равна 180°: \( \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \) и \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}. \)

Углы называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.

Углы BCD и DCK — смежные и в сумме составляют 180 градусов: \( \angle BCD + \angle DCK = 180^{\circ}. \)

Поскольку углы BAD и BCD в сумме равны 180 градусов, и углы BCD и DCK в сумме равны 180 градусов, имеем равенство: $$ \angle BAD + \angle BCD = $$ $$ = \angle BCD + \angle DCK, $$ $$ \angle BAD = \angle DCK. $$ Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

У треугольников KAB и KCD угол K — общий, и как мы ранее выяснили, \( \angle BAD = \angle DCK. \) Следовательно, они подобные. Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями