Задание №5599. Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a : b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a : b.


Задание №5599.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a : b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a : b.

Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Касательной к окружности является прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Общую касательную к двум окружностям называют внутренней, если окружности лежат по разные стороны от этой касательной.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.

Проведем отрезки от центров окружностей к касательной (отрезки PA и QB).

Рассмотрим треугольники APM и MBQ.

Поскольку прямая AB является касательной к двум окружностям, а PA и BQ — радиусы, проведенные к точке касания, то $$ \angle PAM = \angle QBM = 90^{\circ}. $$ Углы PMA и BMQ равны, так как они вертикальные.

Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Следовательно, треугольники APM и MBQ — подобные, из чего следует, что $$ {PM \over MQ} = {PA \over BQ} = {AM \over MB}. $$ Из условия нам известно, что $$ {PM \over MQ} = {a \over b}. $$ Следовательно, $$ {PA \over BQ} = {a \over b}. $$ Обозначим диаметр окружности с центром P как d1, а диаметр окружности с центром Q как d2.

Тогда \( PA = 0,5d_1 \) и \( BQ = 0,5d_2 \). Тогда получим: $$ {PA \over BQ} = {a \over b}, $$ $$ {0,5d_1 \over 0,5d_2} = {a \over b}, $$ $$ {d_1 \over d_2} = {a \over b}. $$ Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями