Задание №5599.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Окружности с центрами в точках
P и
Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении
a :
b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как
a :
b.
Пояснение:
Два треугольника называются
подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом подобия.
Касательной к окружности является прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку.
Два угла называются
вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
Общую касательную к двум окружностям называют
внутренней, если окружности лежат по разные стороны от этой касательной.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем отрезки от центров окружностей к касательной (отрезки
PA и
QB).
Рассмотрим треугольники
APM и
MBQ.
Поскольку прямая
AB является касательной к двум окружностям, а
PA и
BQ — радиусы, проведенные к точке касания, то $$ \angle PAM = \angle QBM = 90^{\circ}. $$ Углы
PMA и
BMQ равны, так как они вертикальные.
Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Следовательно, треугольники
APM и
MBQ — подобные, из чего следует, что $$ {PM \over MQ} = {PA \over BQ} = {AM \over MB}. $$ Из условия нам известно, что $$ {PM \over MQ} = {a \over b}. $$ Следовательно, $$ {PA \over BQ} = {a \over b}. $$ Обозначим диаметр окружности с центром
P как
d1, а диаметр окружности с центром
Q как
d2.
Тогда \( PA = 0,5d_1 \) и \( BQ = 0,5d_2 \). Тогда получим: $$ {PA \over BQ} = {a \over b}, $$ $$ {0,5d_1 \over 0,5d_2} = {a \over b}, $$ $$ {d_1 \over d_2} = {a \over b}. $$ Что и требовалось доказать.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями