Задание №5601.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
Пояснение:
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем из вершин B и C высоты к основанию AD.
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Поскольку BC || AD, а BH и CM — перпендикуляры, проведенные от одной параллельной прямой к другой, получаем, что BH = CM = h.
Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Тогда получим: $$ S_{\triangle ABD} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot BH = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot h. $$ $$ S_{\triangle ACD} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot CM = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot h. $$ Следовательно, \( S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}. \)
Рассмотрим треугольники APB и CPD. $$ S_{\triangle APB} = S_{\triangle CPD} = $$ $$ = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle APD} = $$ $$ = S_{\triangle ACD} - S_{\triangle APD}. $$ Следовательно, площади треугольников APB и CPD равны. Что и требовалось доказать.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
Пояснение:
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем из вершин B и C высоты к основанию AD.
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Поскольку BC || AD, а BH и CM — перпендикуляры, проведенные от одной параллельной прямой к другой, получаем, что BH = CM = h.
Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Тогда получим: $$ S_{\triangle ABD} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot BH = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot h. $$ $$ S_{\triangle ACD} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot CM = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot h. $$ Следовательно, \( S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}. \)
Рассмотрим треугольники APB и CPD. $$ S_{\triangle APB} = S_{\triangle CPD} = $$ $$ = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle APD} = $$ $$ = S_{\triangle ACD} - S_{\triangle APD}. $$ Следовательно, площади треугольников APB и CPD равны. Что и требовалось доказать.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями