Задание №5602.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
В треугольнике
ABC с тупым углом
ABC проведены высоты
AA1 и
CC1. Докажите, что треугольники
A1BC1 и
ABC подобны.
Пояснение:
Два треугольника называются
подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом подобия.
Два угла называются
вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Рассмотрим треугольники
AA1B и
BC1C.
Углы
C1BC и
A1BA равны, так как они вертикальные, и \( \angle AA_1B = BC_1C = 90^{\circ}. \)
Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Следовательно, треугольники
AA1B и
BC1C подобные, из чего следует, что: $$ {AB \over BC} = {A_1B \over BC_1} = {AA_1 \over CC_1}. $$ Преобразуем равенство: $$ {AB \over BC} = {A_1B \over BC_1}, $$ $$ AB \cdot BC_1 = A_1B \cdot BC, $$ $$ {A_1B \over AB} = {BC_1 \over BC}. $$ Рассмотрим треугольники
A1BC1 и
ABC.
Углы
A1BC1 и
ABC равны, так как они вертикальные, и, как мы ранее выяснили, $$ {A_1B \over AB} = {BC_1 \over BC}. $$ Согласно второму признаку подобия, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонами другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Следовательно, треугольники
A1BC1 и
ABC подобны. Что и требовалось доказать.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями