Задание №5603.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Окружности с центрами в точках
M и
N пересекаются в точках
S и
T, причём точки
M и
N лежат по одну сторону от прямой
ST. Докажите,что прямые
MN и
ST перпендикулярны.
Пояснение:
Доказательство 1.Треугольник называется
равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Рассмотрим треугольники
MSN и
MNT.
\( NS = NT \) и \( MS = MT, \) так как это радиусы малой и большой окружностей. Сторона
MN — общая.
Согласно третьему признаку равенства треугольников, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, треугольники
MSN и
MNT равны, из чего следует, что \( \angle SMN = \angle NMT. \)
Рассмотрим треугольник
SMT. Он равнобедренный, так как \( MS = MT, \) при этом мы ранее выяснили, что \( \angle SMN = \angle NMT. \) Следовательно,
MK — биссектриса.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Поэтому \( MK \perp ST. \) Прямая
MK является продолжением отрезка
MN, следовательно, \( MN \perp ST. \) Что и требовалось доказать.
Доказательство 2.Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная ему.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.
\( NS = NT \) и \( MS = MT, \) так как это радиусы малой и большой окружностей. Поскольку точки
M и
N равноудалены от концов отрезка ST, получаем, что \( NK \perp ST \) и \( MK \perp ST. \)
MN является частью прямой
MK, следовательно, \( MN \perp ST. \) Что и требовалось доказать.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями