Задание №5603. Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите,что прямые MN и ST перпендикулярны.


Задание №5603.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите,что прямые MN и ST перпендикулярны.

Пояснение:
Доказательство 1.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Рассмотрим треугольники MSN и MNT.

\( NS = NT \) и \( MS = MT, \) так как это радиусы малой и большой окружностей. Сторона MN — общая.

Согласно третьему признаку равенства треугольников, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, треугольники MSN и MNT равны, из чего следует, что \( \angle SMN = \angle NMT. \)

Рассмотрим треугольник SMT. Он равнобедренный, так как \( MS = MT, \) при этом мы ранее выяснили, что \( \angle SMN = \angle NMT. \) Следовательно, MK — биссектриса.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Поэтому \( MK \perp ST. \) Прямая MK является продолжением отрезка MN, следовательно, \( MN \perp ST. \) Что и требовалось доказать.

Доказательство 2.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная ему.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

\( NS = NT \) и \( MS = MT, \) так как это радиусы малой и большой окружностей. Поскольку точки M и N равноудалены от концов отрезка ST, получаем, что \( NK \perp ST \) и \( MK \perp ST. \) MN является частью прямой MK, следовательно, \( MN \perp ST. \) Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями