Задание №5604. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.


Задание №5604.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.

Пояснение:
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Средняя линии трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.

Проведем высоту от верхнего основания трапеции к нижнему через точку F.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: $$ S = {1 \over 2}MH (BC + AD). $$ Значит, половина площади трапеции равна: $$ {1 \over 4} MH (BC + AD). $$ Теорема Фалеса гласит, что если параллельные прямые (в данном случае BC || NK || AD) пересекают стороны угла и на одной из сторон угла отсекают равные отрезки, то и на другой его стороне они отсекают равные отрезки. Следовательно, MK = KH.

Рассмотрим треугольник BKC. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Тогда получим: $$ S_{\triangle BCK} = {1 \over 2} \cdot BC \cdot MK. $$ Рассмотрим треугольник AKD. Нам известно, что MK = KH. Тогда $$ S_{\triangle AKD} = {1 \over 2} \cdot AD \cdot KH = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot AD \cdot MK. $$ Значит, сумма площадей треугольников BCF и AFD равна: $$ {1 \over 2} \cdot BC \cdot MK + $$ $$ + {1 \over 2} \cdot AD \cdot MK = $$ $$ = {1 \over 2}MK(BC + AD). $$ Поскольку \( MK = {1 \over 2}MH, \) получим: $$ {1 \over 4}MH(BC + AD). $$ Следовательно, сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями