Задание №5605.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Через точку
O пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD проведена прямая, пересекающая стороны
AB и
CD в точках
P и
Q соответственно. Докажите, что отрезки
BP и
DQ равны.
Пояснение:
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Два угла называются
вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Рассмотрим треугольники
PBO и
OQD.
Углы
BOP и
DOQ равны, так как они вертикальные.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Углы
BPO и
OQD равны как накрест лежащие (
AB ||
CD, а
PQ — секущая).
Следовательно, $$ \angle PBO = \angle ODQ = $$ $$ = 180^{\circ} - \angle BPO - \angle BOP. $$ Отрезки
BO и
OD равны, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Согласно второму признаку равенства треугольников, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, \( \triangle PBO = \triangle OQD \), из чего следует, что \( BP = DQ. \) Что и требовалось доказать.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями