Задание №5608. Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите,что прямые CD и EF перпендикулярны.


Задание №5608.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите,что прямые CD и EF перпендикулярны.

Пояснение:
Доказательство 1.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Рассмотрим треугольники ECF и FED.

\( FC = FD \) и \( EC = ED, \) так как это радиусы малой и большой окружностей. Сторона EF — общая.

Согласно третьему признаку равенства треугольников, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, треугольники ECF и FED равны, из чего следует, что \( \angle CEF = \angle FED. \)

Рассмотрим треугольник CED. Он равнобедренный, так как \( EC = ED, \) при этом мы ранее выяснили, что \( \angle CEF = \angle FED. \) Следовательно, EK — биссектриса.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Поэтому \( EK \perp CD. \) Прямая EK является продолжением отрезка EF, следовательно, \( EF \perp CD. \) Что и требовалось доказать.

Доказательство 2.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная ему.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

\( FC = FD \) и \( EC = ED, \) так как это радиусы малой и большой окружностей. Поскольку точки E и F равноудалены от концов отрезка CD, получаем, что \( FK \perp CD \) и \( EK \perp CD. \) EF является частью прямой EK, следовательно, \( EF \perp CD. \) Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями