Задание №5608.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Окружности с центрами в точках
E и
F пересекаются в точках
C и
D, причём точки
E и
F лежат по одну сторону от прямой
CD. Докажите,что прямые
CD и
EF перпендикулярны.
Пояснение:
Доказательство 1.Треугольник называется
равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Рассмотрим треугольники
ECF и
FED.
\( FC = FD \) и \( EC = ED, \) так как это радиусы малой и большой окружностей. Сторона
EF — общая.
Согласно третьему признаку равенства треугольников, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, треугольники
ECF и
FED равны, из чего следует, что \( \angle CEF = \angle FED. \)
Рассмотрим треугольник
CED. Он равнобедренный, так как \( EC = ED, \) при этом мы ранее выяснили, что \( \angle CEF = \angle FED. \) Следовательно,
EK — биссектриса.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Поэтому \( EK \perp CD. \) Прямая
EK является продолжением отрезка
EF, следовательно, \( EF \perp CD. \) Что и требовалось доказать.
Доказательство 2.Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная ему.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.
\( FC = FD \) и \( EC = ED, \) так как это радиусы малой и большой окружностей. Поскольку точки
E и
F равноудалены от концов отрезка CD, получаем, что \( FK \perp CD \) и \( EK \perp CD. \)
EF является частью прямой
EK, следовательно, \( EF \perp CD. \) Что и требовалось доказать.
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями