Задание №5610. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 17, AC = 51, NC = 32.


Задание №5610.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 17, AC = 51, NC = 32.

Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Следовательно, \( \angle ACB = \angle MNB \) и \( \angle CAB = \angle NMB. \)

Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Поэтому треугольники MNB и ABC — подобные.

Коэффициент подобия двух данных треугольников равен: $$ {MN \over AC} = {17 \over 51} = {1 \over 3}.$$ Пусть x — сторона BN. Тогда BC = x + 32. Получим: $$ {x \over 32+x} = {1 \over 3}. $$ Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим $$ 3x = 32 + x, $$ $$ 2x = 32, $$ $$ x = 16. $$ Проверим, не обращает ли найденный корень в нуль общий знаменатель дробей. Если \( x = 16, \) то \( 3(32+x) \ne 0. \) Следовательно, уравнение имеет один корень: 16.

Таким образом, сторона BN равна 16.

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями