Задание №5615. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.


Задание №5615.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.

Пояснение:
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Проведем два отрезка от центра окружности к вершинам треугольника B и C.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, \( \angle BAC \) равен 180 – 65 – 85 = 30°.

Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\( \angle BAC \) — вписанный и опирается на ту же дугу, что и центральный угол BOC. Следовательно, $$ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 60^{\circ}. $$ Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как BO = OC = R.

Проведем биссектрису OH к основанию BC.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Следовательно, \( OH \perp BC \) и \( BH = HC. \)

Рассмотрим прямоугольный треугольник OHC.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Получаем, что $$ \sin HOC = {HC \over OC}. $$ Выразив HC из данной формулы, получим: $$ HC = \sin HOC \cdot OC = $$ $$ = \sin 30^{\circ} \cdot 14 = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot 14 = 7. $$ Следовательно, $$ BC = BH + HC, $$ $$ BC = 7 + 7 = 14. $$

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями