Задание №5620. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 30, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.


Задание №5620.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 30, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.

Пояснение:
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник вписанным в эту окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.


Поскольку четырехугольник KBCP вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°: \( \angle BKP + \angle BCP = 180^{\circ} \) и \( \angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}. \)

Углы называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.

Углы BKP и PKA — смежные и в сумме составляют 180 градусов: \( \angle BKP + \angle PKA = 180^{\circ}. \)

Поскольку углы BKP и BCP в сумме равны 180 градусов, и углы BKP и PKA в сумме равны 180 градусов, имеем равенство: $$ \angle BKP + \angle BCP = $$ $$ = \angle BKP + \angle PKA, $$ $$ \angle BCP = \angle PKA. $$ Рассмотрим треугольники AKP и ABC.

Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

У треугольников AKP и ABC угол А — общий, и как мы ранее выяснили, \( \angle BCP = \angle PKA. \) Следовательно, они подобные, из чего следует, что: $$ {KP \over BC} = {AP \over AB} = {AK \over AC}. $$ Преобразуем равенство $$ {KP \over BC} = {AP \over AB}, $$ $$ KP \cdot AB = AP \cdot BC. $$ Поделив обе части уравнения на BC, получим: $$ KP \cdot {AB \over BC} = AP. $$ Нам известно, что AP = 30, \( {AB \over BC} = 1,2. \) Тогда получим: $$ KP \cdot 1,2 = 30, $$ $$ KP = {30 \over 1,2} = 25. $$

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке


Тест с похожими заданиями