Задание №5620.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Окружность пересекает стороны
AB и
AC треугольника
ABC в точках
K и
P соответственно и проходит через вершины
B и
C. Найдите длину отрезка
KP, если
AP = 30, а сторона
BC в 1,2 раза меньше стороны
AB.
Пояснение:
Два треугольника называются
подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом подобия.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется
описанной около многоугольника, а многоугольник
вписанным в эту окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Поскольку четырехугольник
KBCP вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°: \( \angle BKP + \angle BCP = 180^{\circ} \) и \( \angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}. \)
Углы называют
смежными, если одна сторона у них общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.
Углы
BKP и
PKA — смежные и в сумме составляют 180 градусов: \( \angle BKP + \angle PKA = 180^{\circ}. \)
Поскольку углы
BKP и
BCP в сумме равны 180 градусов, и углы
BKP и
PKA в сумме равны 180 градусов, имеем равенство: $$ \angle BKP + \angle BCP = $$ $$ = \angle BKP + \angle PKA, $$ $$ \angle BCP = \angle PKA. $$ Рассмотрим треугольники
AKP и
ABC.
Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
У треугольников
AKP и
ABC угол
А — общий, и как мы ранее выяснили, \( \angle BCP = \angle PKA. \) Следовательно, они подобные, из чего следует, что: $$ {KP \over BC} = {AP \over AB} = {AK \over AC}. $$ Преобразуем равенство $$ {KP \over BC} = {AP \over AB}, $$ $$ KP \cdot AB = AP \cdot BC. $$ Поделив обе части уравнения на
BC, получим: $$ KP \cdot {AB \over BC} = AP. $$ Нам известно, что
AP = 30, \( {AB \over BC} = 1,2. \) Тогда получим: $$ KP \cdot 1,2 = 30, $$ $$ KP = {30 \over 1,2} = 25. $$
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями