Задание №5624.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 67° и 83°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 16.
Пояснение:
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем два отрезка от центра окружности к вершинам треугольника B и C.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, \( \angle BAC \) равен 180 – 67 – 83 = 30°.
Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
\( \angle BAC \) — вписанный и опирается на ту же дугу, что и центральный угол BOC. Следовательно, $$ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 60^{\circ}. $$ Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как BO = OC = R.
Проведем биссектрису OH к основанию BC.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Следовательно, \( OH \perp BC \) и \( BH = HC. \)
Рассмотрим прямоугольный треугольник OHC.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Получаем, что $$ \sin HOC = {HC \over OC}. $$ Выразив HC из данной формулы, получим: $$ HC = \sin HOC \cdot OC = $$ $$ = \sin 30^{\circ} \cdot 16 = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot 16 = 8. $$ Следовательно, $$ BC = BH + HC, $$ $$ BC = 8 + 8 = 16. $$
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 67° и 83°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 16.
Пояснение:
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.
Введем буквенные обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем два отрезка от центра окружности к вершинам треугольника B и C.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, \( \angle BAC \) равен 180 – 67 – 83 = 30°.
Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
\( \angle BAC \) — вписанный и опирается на ту же дугу, что и центральный угол BOC. Следовательно, $$ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 60^{\circ}. $$ Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как BO = OC = R.
Проведем биссектрису OH к основанию BC.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Следовательно, \( OH \perp BC \) и \( BH = HC. \)
Рассмотрим прямоугольный треугольник OHC.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Получаем, что $$ \sin HOC = {HC \over OC}. $$ Выразив HC из данной формулы, получим: $$ HC = \sin HOC \cdot OC = $$ $$ = \sin 30^{\circ} \cdot 16 = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot 16 = 8. $$ Следовательно, $$ BC = BH + HC, $$ $$ BC = 8 + 8 = 16. $$
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями