Задание №5761. На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D. В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней. ТОЧКИ A B C D ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 1) $ {2 \over 3} $ 2) $ -{1 \over 2} $ 3) $ -1{1 \over 3} $ 4) $ 1{2 \over 3} $ ABCD    

Задание №5761.
Функция и производная. ЕГЭ по математике базового уровня

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ

A

B

C

D

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1) $ {2 \over 3} $

2) $ -{1 \over 2} $

3) $ -1{1 \over 3} $

4) $ 1{2 \over 3} $

A	B	C	D

Пояснение:

В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = kx + b, число k называют угловым коэффициентом прямой.

При k > 0 функция y = kx + b является возрастающей, а при k < 0 — убывающей.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox, то есть k = tgα.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f в точке с абсциссой x₀, равен производной функции f в точке x₀, то есть $$ k(x_0) = \text{tg}\alpha = f'(x_0). $$ Это равенство выражает геометрический смысл производной.

Значит, чтобы узнать значение производной в точке x₀, нам необходимо определить тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox. А для этого нам необходимо определить значение угла α на каждом из графиков.

Таблица тангенсов углов от 0° до 180° приведена ниже.

Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)	Угол, градусы	Тангенс (tg)
0	0	10	0,17633	20	0,36397	30	0,57735	40	0,8391	50	1,19175	60	1,73205	70	2,74748	80	5,67128	90	не сущ.	100	-5,67128	110	-2,74748	120	-1,73205	130	-1,19175	140	-0,8391	150	-0,57735	160	-0,36397	170	-0,17633	180	0
1	0,01746	11	0,19438	21	0,38386	31	0,60086	41	0,86929	51	1,2349	61	1,80405	71	2,90421	81	6,31375	91	-57,28996	101	-5,14455	111	-2,60509	121	-1,66428	131	-1,15037	141	-0,80978	151	-0,55431	161	-0,34433	171	-0,15838
2	0,03492	12	0,21256	22	0,40403	32	0,62487	42	0,9004	52	1,27994	62	1,88073	72	3,07768	82	7,11537	92	-28,63625	102	-4,70463	112	-2,47509	122	-1,60033	132	-1,11061	142	-0,78129	152	-0,53171	162	-0,32492	172	-0,14054
3	0,05241	13	0,23087	23	0,42447	33	0,64941	43	0,93252	53	1,32704	63	1,96261	73	3,27085	83	8,14435	93	-19,08114	103	-4,33148	113	-2,35585	123	-1,53986	133	-1,07237	143	-0,75355	153	-0,50953	163	-0,30573	173	-0,12278
4	0,06993	14	0,24933	24	0,44523	34	0,67451	44	0,96569	54	1,37638	64	2,0503	74	3,48741	84	9,51436	94	-14,30067	104	-4,01078	114	-2,24604	124	-1,48256	134	-1,03553	144	-0,72654	154	-0,48773	164	-0,28675	174	-0,1051
5	0,08749	15	0,26795	25	0,46631	35	0,70021	45	1	55	1,42815	65	2,14451	75	3,73205	85	11,43005	95	-11,43005	105	-3,73205	115	-2,14451	125	-1,42815	135	-1	145	-0,70021	155	-0,46631	165	-0,26795	175	-0,08749
6	0,1051	16	0,28675	26	0,48773	36	0,72654	46	1,03553	56	1,48256	66	2,24604	76	4,01078	86	14,30067	96	-9,51436	106	-3,48741	116	-2,0503	126	-1,37638	136	-0,96569	146	-0,67451	156	-0,44523	166	-0,24933	176	-0,06993
7	0,12278	17	0,30573	27	0,50953	37	0,75355	47	1,07237	57	1,53986	67	2,35585	77	4,33148	87	19,08114	97	-8,14435	107	-3,27085	117	-1,96261	127	-1,32704	137	-0,93252	147	-0,64941	157	-0,42447	167	-0,23087	177	-0,05241
8	0,14054	18	0,32492	28	0,53171	38	0,78129	48	1,11061	58	1,60033	68	2,47509	78	4,70463	88	28,63625	98	-7,11537	108	-3,07768	118	-1,88073	128	-1,27994	138	-0,9004	148	-0,62487	158	-0,40403	168	-0,21256	178	-0,03492
9	0,15838	19	0,34433	29	0,55431	39	0,80978	49	1,15037	59	1,66428	69	2,60509	79	5,14455	89	57,28996	99	-6,31375	109	-2,90421	119	-1,80405	129	-1,2349	139	-0,86929	149	-0,60086	159	-0,38386	169	-0,19438	179	-0,01746

В точках А и D касательные возрастают, а значит, k = f'(x₀) > 0. При этом угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox в точке А больше, чем в точке D, из чего следует, что значение производной в точке с абсциссой x₀ в точке A больше, чем в точке D. Следовательно, А — 4, D — 1.

В точках B и C касательные убывают, а значит, k = f'(x₀) < 0. При этом угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox в точке B меньше, чем в точке C, из чего следует, что значение производной в точке с абсциссой x₀ в точке B меньше, чем в точке C. Следовательно, B — 3, C — 2.

Показать ответ

Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке

Тест с похожими заданиями