Задание №5825.
Задача по планиметрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 22. Найдите периметр ромба.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже:
Пусть сумма углов A и C равна 120°. Так как противоположные углы ромба равны, получаем, что $$ \angle A = \angle C = 60^{\circ}. $$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, из чего следует, что \( AO \perp BD. \)
Рассмотрим треугольник ABD. Он равнобедренный, так как AB = AD (у ромба все стороны равны).
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, BO = OD = 11.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого угол BAO равен 30°, а катет BO — 11.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Тогда получим: $$ \sin \angle BAO = {BO \over AB}, $$ $$ AB = {BO \over \sin \angle BAO} = {11 \over {1 \over 2}} = 22. $$ Следовательно, периметр ромба равен 22 · 4 = 88.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по планиметрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 22. Найдите периметр ромба.
Пояснение:
Периметр — сумма длины всех сторон плоской геометрической фигуры.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже:
Пусть сумма углов A и C равна 120°. Так как противоположные углы ромба равны, получаем, что $$ \angle A = \angle C = 60^{\circ}. $$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, из чего следует, что \( AO \perp BD. \)
Рассмотрим треугольник ABD. Он равнобедренный, так как AB = AD (у ромба все стороны равны).
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, BO = OD = 11.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого угол BAO равен 30°, а катет BO — 11.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Тогда получим: $$ \sin \angle BAO = {BO \over AB}, $$ $$ AB = {BO \over \sin \angle BAO} = {11 \over {1 \over 2}} = 22. $$ Следовательно, периметр ромба равен 22 · 4 = 88.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями