Задание №5827.
Задача по планиметрии. ЕГЭ по математике базового уровня
На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120°, AC = 29. Найдите длину диаметра окружности.
Пояснение:
Угол COB — центральный, а угол CAB — вписанный. Причем они оба опираются на одну и ту же дугу. Значит, $$ \angle CAB = {1 \over 2}\angle COB = 60^{\circ}. $$ Рассмотрим треугольник ACO. OA = OC, так как это радиусы окружности. Следовательно, треугольник ACO — равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, значит, $$ \angle CAO = \angle ACO = 60^{\circ}. $$ Сумма углов треугольника равна 180°, значит, $$ \angle AOC = 180 - 60 - 60 = 60^{\circ}. $$ Следовательно, треугольник ACO — равносторонний, так как у него все угла равны. Тогда:
AC = CO = AO = 29.
Значит, диаметр окружности равен 29 · 2 = 58.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по планиметрии. ЕГЭ по математике базового уровня
На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120°, AC = 29. Найдите длину диаметра окружности.
Пояснение:
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Угол COB — центральный, а угол CAB — вписанный. Причем они оба опираются на одну и ту же дугу. Значит, $$ \angle CAB = {1 \over 2}\angle COB = 60^{\circ}. $$ Рассмотрим треугольник ACO. OA = OC, так как это радиусы окружности. Следовательно, треугольник ACO — равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, значит, $$ \angle CAO = \angle ACO = 60^{\circ}. $$ Сумма углов треугольника равна 180°, значит, $$ \angle AOC = 180 - 60 - 60 = 60^{\circ}. $$ Следовательно, треугольник ACO — равносторонний, так как у него все угла равны. Тогда:
Значит, диаметр окружности равен 29 · 2 = 58.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями