Задание №5834.
Задача по планиметрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Сумма двух углов ромба равна 120°, а его периметр равен 88. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже:
Пусть сумма углов A и C равна 120°. Так как противоположные углы ромба равны, получаем, что $$ \angle A = \angle C = 60^{\circ}. $$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, из чего следует, что \( AO \perp BD. \)
Так как периметр ромба равен 88, а его стороны равны, получаем, что сторона ромба равна 88 ÷ 4 = 22.
Рассмотрим треугольник ABD. Он равнобедренный, так как AB = AD.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, BO = OD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого угол BAO равен 30°, а гипотенуза AB — 22.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Тогда получим: $$ \sin \angle BAO = {BO \over AB}, $$ $$ BO = \sin \angle BAO \cdot AB = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot 22 = 11. $$ Следовательно, меньшая диагональ ромба BD равна 11 · 2 = 22.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по планиметрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Сумма двух углов ромба равна 120°, а его периметр равен 88. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Пояснение:
Периметр — сумма длины всех сторон плоской геометрической фигуры.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже:
Пусть сумма углов A и C равна 120°. Так как противоположные углы ромба равны, получаем, что $$ \angle A = \angle C = 60^{\circ}. $$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, из чего следует, что \( AO \perp BD. \)
Так как периметр ромба равен 88, а его стороны равны, получаем, что сторона ромба равна 88 ÷ 4 = 22.
Рассмотрим треугольник ABD. Он равнобедренный, так как AB = AD.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, BO = OD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого угол BAO равен 30°, а гипотенуза AB — 22.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Тогда получим: $$ \sin \angle BAO = {BO \over AB}, $$ $$ BO = \sin \angle BAO \cdot AB = $$ $$ = {1 \over 2} \cdot 22 = 11. $$ Следовательно, меньшая диагональ ромба BD равна 11 · 2 = 22.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями