Задание №5851.
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем высоту (апофему) PH к боковой грани PAF. Треугольник PAF — равнобедренный, так как боковые ребра PA = PF = 10.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, AH = HF = 12 ÷ 2 = 6.
Рассмотрим прямоугольный треугольник PHA, у которого катет AH равен 6, а гипотенуза PA — 10. По теореме Пифагора получим: $$ PH = \sqrt{PA^2-AH^2} = $$ $$ = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{64} = 8. $$ Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Следовательно, площадь боковой поверхности правильной пирамиды PABCDEF равна: $$ S_{\text{бок}} = {P_{\text{осн}} \over 2} \cdot PH = $$ $$ = {6 \cdot 12 \over 2} \cdot 8 = 288. $$
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Пояснение:
Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2 ... An и n треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник A1A2 ... An называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2 ... An и n треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник A1A2 ... An называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем высоту (апофему) PH к боковой грани PAF. Треугольник PAF — равнобедренный, так как боковые ребра PA = PF = 10.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, AH = HF = 12 ÷ 2 = 6.
Рассмотрим прямоугольный треугольник PHA, у которого катет AH равен 6, а гипотенуза PA — 10. По теореме Пифагора получим: $$ PH = \sqrt{PA^2-AH^2} = $$ $$ = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{64} = 8. $$ Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Следовательно, площадь боковой поверхности правильной пирамиды PABCDEF равна: $$ S_{\text{бок}} = {P_{\text{осн}} \over 2} \cdot PH = $$ $$ = {6 \cdot 12 \over 2} \cdot 8 = 288. $$
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями