Задание №5854.
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \( {1 \over 3} \) высоты. Объём сосуда равен 810 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси OP конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1, расположенным на оси конуса. Радиус r1 этого круга равен \( {PO_1 \over PO}r, \) где r — радиус основания конуса. Это следует из подобия прямоугольных треугольников POM и PO1M1.
Из условия нам известно, что высота жидкости равна трети высоты сосуда: $$ PO_1 = {1 \over 3}PO. $$ Тогда получим: $$ r_1 = {PO_1 \over PO}r = {{1 \over 3}PO \over PO}r = {1 \over 3}r. $$ Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Пусть V — объем сосуда, V1 — объем налитой жидкости.
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. $$ V = {1 \over 3}Sh = {1 \over 3} \pi R^2h. $$ Тогда получим, что объём сосуда больше объёма налитой жидкости в $$ {V \over V_1} = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot \Big({1 \over 3}r\Big)^2 \cdot {1 \over 3}PO} = $$ $$ = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot {1 \over 9}r^2 \cdot {1 \over 3}PO} = $$ $$ = {3 \cdot 9 \cdot 3 \over 3} = 27 $$ раз.
Значит объем налитой жидкости равен 810 мл ÷ 27 = 30 мл.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \( {1 \over 3} \) высоты. Объём сосуда равен 810 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
Пояснение:
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, называется конусом.
Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса.
Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса.
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси OP конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1, расположенным на оси конуса. Радиус r1 этого круга равен \( {PO_1 \over PO}r, \) где r — радиус основания конуса. Это следует из подобия прямоугольных треугольников POM и PO1M1.
Из условия нам известно, что высота жидкости равна трети высоты сосуда: $$ PO_1 = {1 \over 3}PO. $$ Тогда получим: $$ r_1 = {PO_1 \over PO}r = {{1 \over 3}PO \over PO}r = {1 \over 3}r. $$ Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Пусть V — объем сосуда, V1 — объем налитой жидкости.
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. $$ V = {1 \over 3}Sh = {1 \over 3} \pi R^2h. $$ Тогда получим, что объём сосуда больше объёма налитой жидкости в $$ {V \over V_1} = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot \Big({1 \over 3}r\Big)^2 \cdot {1 \over 3}PO} = $$ $$ = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot {1 \over 9}r^2 \cdot {1 \over 3}PO} = $$ $$ = {3 \cdot 9 \cdot 3 \over 3} = 27 $$ раз.
Значит объем налитой жидкости равен 810 мл ÷ 27 = 30 мл.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями