Задание №5883.
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем высоту (апофему) PH к боковой грани PAB. Треугольник PAB — равнобедренный, так как боковые ребра PB = PA = 13.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, BH = HA = 5.
Рассмотрим прямоугольный треугольник PHA, у которого катет HA равен 5, а гипотенуза PA — 13. По теореме Пифагора получим: $$ PH = \sqrt{PA^2-HA^2} = $$ $$ = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{144} = 12. $$ Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Следовательно, площадь боковой поверхности правильной пирамиды PABC равна: $$ S_{\text{бок}} = {P_{\text{осн}} \over 2} \cdot PH = $$ $$ = {10+10+10 \over 2} \cdot 12 = 180. $$ Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Пояснение:
Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2 ... An и n треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник A1A2 ... An называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2 ... An и n треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник A1A2 ... An называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем высоту (апофему) PH к боковой грани PAB. Треугольник PAB — равнобедренный, так как боковые ребра PB = PA = 13.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, BH = HA = 5.
Рассмотрим прямоугольный треугольник PHA, у которого катет HA равен 5, а гипотенуза PA — 13. По теореме Пифагора получим: $$ PH = \sqrt{PA^2-HA^2} = $$ $$ = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{144} = 12. $$ Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Следовательно, площадь боковой поверхности правильной пирамиды PABC равна: $$ S_{\text{бок}} = {P_{\text{осн}} \over 2} \cdot PH = $$ $$ = {10+10+10 \over 2} \cdot 12 = 180. $$ Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями