Задание №5885.
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно \( \sqrt{41}. \)
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. $$ V = {1 \over 3}Sh. $$ Так как пирамида SABCD — правильная, значит, в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, ABCD — квадрат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора получим: $$ AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = $$ $$ = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}. $$ Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, получаем, что $$ AH = {1 \over 2}AC = 4\sqrt{2}. $$ Рассмотрим прямоугольный треугольник ASH. По теореме Пифагора получим: $$ SH = \sqrt{AS^2 - AH^2} = $$ $$ = \sqrt{\Big(\sqrt{41}\Big)^2 - \Big(4\sqrt{2}\Big)^2} = $$ $$ = \sqrt{41-32} = \sqrt{9} = 3. $$ Найдем площадь основания ABCD. Площадь квадрата равна произведению его смежных сторон, тогда получим: $$ S_{ABCD} = 8 \cdot 8 = 64. $$ Тогда объем пирамиды равен: $$ V = {1 \over 3}\cdot S \cdot SH = $$ $$ = {1 \over 3} \cdot 64 \cdot 3 = 64. $$ Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно \( \sqrt{41}. \)
Пояснение:
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2 ... An и n треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник A1A2 ... An называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Многоугольник A1A2 ... An называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. $$ V = {1 \over 3}Sh. $$ Так как пирамида SABCD — правильная, значит, в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, ABCD — квадрат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора получим: $$ AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = $$ $$ = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}. $$ Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, получаем, что $$ AH = {1 \over 2}AC = 4\sqrt{2}. $$ Рассмотрим прямоугольный треугольник ASH. По теореме Пифагора получим: $$ SH = \sqrt{AS^2 - AH^2} = $$ $$ = \sqrt{\Big(\sqrt{41}\Big)^2 - \Big(4\sqrt{2}\Big)^2} = $$ $$ = \sqrt{41-32} = \sqrt{9} = 3. $$ Найдем площадь основания ABCD. Площадь квадрата равна произведению его смежных сторон, тогда получим: $$ S_{ABCD} = 8 \cdot 8 = 64. $$ Тогда объем пирамиды равен: $$ V = {1 \over 3}\cdot S \cdot SH = $$ $$ = {1 \over 3} \cdot 64 \cdot 3 = 64. $$ Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями