Задание №5887.
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 14, а боковые рёбра равны 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем высоту (апофему) PH к боковой грани PAC. Треугольник PAC — равнобедренный, так как боковые ребра PA = PC = 25.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, AH = HC = 14 ÷ 2 = 7.
Рассмотрим прямоугольный треугольник PHA, у которого катет HA равен 7, а гипотенуза PA — 25. По теореме Пифагора получим: $$ PH = \sqrt{PA^2-HA^2} = $$ $$ = \sqrt{25^2-7^2} = \sqrt{576} = 24. $$ Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Следовательно, площадь боковой поверхности правильной пирамиды PABC равна: $$ S_{\text{бок}} = {P_{\text{осн}} \over 2} \cdot PH = $$ $$ = {14+14+14 \over 2} \cdot 24 = 504. $$ Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 14, а боковые рёбра равны 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Пояснение:
Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2 ... An и n треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник A1A2 ... An называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2 ... An и n треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник A1A2 ... An называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Проведем высоту (апофему) PH к боковой грани PAC. Треугольник PAC — равнобедренный, так как боковые ребра PA = PC = 25.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Значит, AH = HC = 14 ÷ 2 = 7.
Рассмотрим прямоугольный треугольник PHA, у которого катет HA равен 7, а гипотенуза PA — 25. По теореме Пифагора получим: $$ PH = \sqrt{PA^2-HA^2} = $$ $$ = \sqrt{25^2-7^2} = \sqrt{576} = 24. $$ Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Следовательно, площадь боковой поверхности правильной пирамиды PABC равна: $$ S_{\text{бок}} = {P_{\text{осн}} \over 2} \cdot PH = $$ $$ = {14+14+14 \over 2} \cdot 24 = 504. $$ Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями