Задание №5888.
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси OP конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1, расположенным на оси конуса. Радиус r1 этого круга равен \( {PO_1 \over PO}r, \) где r — радиус основания конуса. Это следует из подобия прямоугольных треугольников POM и PO1M1.
Из условия нам известно, что PO1 : O1O = 1 : 2. Следовательно, $$ PO_1 = {1 \over 3}PO. $$ Тогда получим: $$ r_1 = {PO_1 \over PO}r = {{1 \over 3}PO \over PO}r = {1 \over 3}r. $$ Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Пусть V — объем конуса, V1 — объем конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. $$ V = {1 \over 3}Sh = {1 \over 3} \pi R^2h. $$ Тогда получим, что объём конуса больше объёма отсекаемого конуса в $$ {V \over V_1} = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot \Big({1 \over 3}r\Big)^2 \cdot {1 \over 3}PO} = $$ $$ = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot {1 \over 9}r^2 \cdot {1 \over 3}PO} = 27 $$ раз.
Следовательно, объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 27 ÷ 27 = 1.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
Пояснение:
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, называется конусом.
Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса.
Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса.
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси OP конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1, расположенным на оси конуса. Радиус r1 этого круга равен \( {PO_1 \over PO}r, \) где r — радиус основания конуса. Это следует из подобия прямоугольных треугольников POM и PO1M1.
Из условия нам известно, что PO1 : O1O = 1 : 2. Следовательно, $$ PO_1 = {1 \over 3}PO. $$ Тогда получим: $$ r_1 = {PO_1 \over PO}r = {{1 \over 3}PO \over PO}r = {1 \over 3}r. $$ Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Пусть V — объем конуса, V1 — объем конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. $$ V = {1 \over 3}Sh = {1 \over 3} \pi R^2h. $$ Тогда получим, что объём конуса больше объёма отсекаемого конуса в $$ {V \over V_1} = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot \Big({1 \over 3}r\Big)^2 \cdot {1 \over 3}PO} = $$ $$ = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot {1 \over 9}r^2 \cdot {1 \over 3}PO} = 27 $$ раз.
Следовательно, объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 27 ÷ 27 = 1.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями