Задание №5891.
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси OP конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1, расположенным на оси конуса. Радиус r1 этого круга равен \( {PO_1 \over PO}r, \) где r — радиус основания конуса. Это следует из подобия прямоугольных треугольников POM и PO1M1.
Из условия нам известно, что $$ PO_1 = {1 \over 2}PO. $$ Тогда получим: $$ r_1 = {PO_1 \over PO}r = {{1 \over 2}PO \over PO}r = {1 \over 2}r. $$ Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Пусть V — объем конуса, V1 — объем отсеченного конуса.
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. $$ V = {1 \over 3}Sh = {1 \over 3} \pi R^2h. $$ Тогда получим, что объём конуса больше объёма отсеченного конуса в $$ {V \over V_1} = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot \Big({1 \over 2}r\Big)^2 \cdot {1 \over 2}PO} = $$ $$ = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot {1 \over 4}r^2 \cdot {1 \over 2}PO} = $$ $$ = {3 \cdot 4 \cdot 2 \over 3} = 8 $$ раз.
Значит объем отсеченного конуса равен 32 ÷ 8 = 4.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Задача по стереометрии. ЕГЭ по математике базового уровня
Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
Пояснение:
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, называется конусом.
Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса.
Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса.
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси OP конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1, расположенным на оси конуса. Радиус r1 этого круга равен \( {PO_1 \over PO}r, \) где r — радиус основания конуса. Это следует из подобия прямоугольных треугольников POM и PO1M1.
Из условия нам известно, что $$ PO_1 = {1 \over 2}PO. $$ Тогда получим: $$ r_1 = {PO_1 \over PO}r = {{1 \over 2}PO \over PO}r = {1 \over 2}r. $$ Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Пусть V — объем конуса, V1 — объем отсеченного конуса.
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. $$ V = {1 \over 3}Sh = {1 \over 3} \pi R^2h. $$ Тогда получим, что объём конуса больше объёма отсеченного конуса в $$ {V \over V_1} = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot \Big({1 \over 2}r\Big)^2 \cdot {1 \over 2}PO} = $$ $$ = {{1 \over 3}\pi \cdot r^2 \cdot PO \over {1 \over 3}\pi \cdot {1 \over 4}r^2 \cdot {1 \over 2}PO} = $$ $$ = {3 \cdot 4 \cdot 2 \over 3} = 8 $$ раз.
Значит объем отсеченного конуса равен 32 ÷ 8 = 4.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями