Логарифмом положительного числа b по основанию a \( (\log_{a}{b}) \), где a > 0 и a ≠ 1, называют показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Например, \( \log_{3}{9} \) — это показатель степени, в которую надо возвести число 3, чтобы получить число 9. Имеем: \( \log_{3}{9} = 2, \) поскольку 3² = 9.

Из определения логарифма следует, что при a > 0, a ≠ 1 и b > 0 выполняется равенство $$ a^{\log_{a}{b}} = b. $$ Его называют основным логарифмическим тождеством.

Также из определения логарифма следует, что при a > 0 и a ≠ 1 $$ \log_{a}{1} = 0, $$ $$ \log_{a}{a} = 1. $$ Основные свойства логарифмов.

1) Если x > 0, y > 0, a > 0 и a ≠ 1, то выполняется равенство $$ \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y}. $$ Коротко формулируют: логарифм произведения равен сумме логарифмов.

2) Если x > 0, y > 0, a > 0 и a ≠ 1, то выполняется равенство $$ \log_{a}{{x \over y}} = \log_{a}{x} - \log_{a}{y}. $$ Коротко формулируют: логарифм частного равен разности логарифмов.

3) Если x > 0, y > 0, a > 0 и a ≠ 1, то для любого \( \beta \in R \) выполняется равенство $$ \log_{a}{x^{\beta}} = \beta \log_{a}{x}. $$ 4) Если a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 и c ≠ 1, то выполняется равенство $$ \log_{a}{b} = {\log_{c}{b} \over \log_{c}{a}}. $$