Логарифмом положительного числа b по основанию a \( (\log_{a}{b}) \), где a > 0 и a ≠ 1, называют показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Например, \( \log_{3}{9} \) — это показатель степени, в которую надо возвести число 3, чтобы получить число 9. Имеем: \( \log_{3}{9} = 2, \) поскольку 3² = 9.

Основные свойства логарифмов.

1) Если x > 0, y > 0, a > 0 и a ≠ 1, то выполняется равенство $$ \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y}. $$ Коротко формулируют: логарифм произведения равен сумме логарифмов.

2) Если x > 0, y > 0, a > 0 и a ≠ 1, то выполняется равенство $$ \log_{a}{{x \over y}} = \log_{a}{x} - \log_{a}{y}. $$ Коротко формулируют: логарифм частного равен разности логарифмов.

3) Если x > 0, y > 0, a > 0 и a ≠ 1, то для любого \( \beta \in R \) выполняется равенство $$ \log_{a}{x^{\beta}} = \beta \log_{a}{x}. $$ 4) Если a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 и c ≠ 1, то выполняется равенство $$ \log_{a}{b} = {\log_{c}{b} \over \log_{c}{a}}. $$ Пусть a > 0, a ≠ 1. Уравнение вида \( \log_{a}{f(x)} = \log_{a}{g(x)} \) равносильно любой из систем $$ \begin{equation*}

\begin{cases}

f(x) = g(x),

\\

f(x) > 0

\end{cases}

\end{equation*}

$$ или $$ \begin{equation*}

\begin{cases}

f(x) = g(x),

\\

g(x) > 0.

\end{cases}

\end{equation*}

$$