Задание №5973.
Решение уравнений. ЕГЭ по математике базового уровня
Найдите корень уравнения $$ \log_{2}{(x-1)} + \log_{2}{6} = \log_{2}{18}. $$
Пояснение:
Логарифмом положительного числа b по основанию a \( (\log_{a}{b}) \), где a > 0 и a ≠ 1, называют показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Если x > 0, y > 0, a > 0 и a ≠ 1, то выполняется равенство $$ \log_{a}{{x \over y}} = \log_{a}{x} - \log_{a}{y}. $$ Коротко формулируют: логарифм частного равен разности логарифмов.
Пусть a > 0, a ≠ 1. Уравнение вида \( \log_{a}{f(x)} = \log_{a}{g(x)} \) равносильно любой из систем $$ \begin{equation*}
\begin{cases}
f(x) = g(x),
\\
f(x) > 0
\end{cases}
\end{equation*}
$$ или $$ \begin{equation*}
\begin{cases}
f(x) = g(x),
\\
g(x) > 0.
\end{cases}
\end{equation*}
$$
Имеем: $$ \log_{2}{(x-1)} + \log_{2}{6} = \log_{2}{18}, $$ $$ \log_{2}{(x-1)} = \log_{2}{18} - \log_{2}{6}, $$ $$ \log_{2}{(x-1)} = \log_{2}{{18 \over 6}}, $$ $$ \log_{2}{(x-1)} = \log_{2}{3}. $$ Последнее уравнение равносильно такому: \( x-1=3, \) откуда получим, что \( x = 4. \)
Показать ответ
4
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями