Задание №5979.
Вычисление значений и решение неравенств. ЕГЭ по математике базового уровня
Каждому из четырёх неравенств соответствует одно из решений. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
А) \( \log_{4}{x} \ge 1 \)
Б) \( \log_{4}{x} \le -1 \)
В) \( \log_{4}{x} \ge -1 \)
Г) \( \log_{4}{x} \le 1 \)
РЕШЕНИЯ
Пояснение:
А) Поскольку \( 1 = \log_{4}{4}, \) то можно записать: $$ \log_{4}{x} \ge \log_{4}{4}. $$ Это неравенство равносильно такому: $$ x \ge 4. $$ Следовательно, решением исходного неравенства является полуинтервал \( [4; +\infty), \) что соответствует решению под номером 3.
Б) Так как \( -1 = \log_{4}{{1 \over 4}}, \) то можно записать: $$ \log_{4}{x} \le \log_{4}{{1 \over 4}}. $$ Это неравенство равносильно системе: $$
\left\{
\begin{array}{c}
x \le {1 \over 4}, \\
x > 0.
\end{array}
\right.
$$ Следовательно, решением исходного неравенства является полуинтервал \( \Big(0; {1 \over 4}\Big], \) что соответствует решению под номером 2.
В) Так как \( -1 = \log_{4}{{1 \over 4}}, \) то можно записать: $$ \log_{4}{x} \ge \log_{4}{{1 \over 4}}. $$ Это неравенство равносильно такому: $$ x \ge {1 \over 4}. $$ Следовательно, решением исходного неравенства является полуинтервал \( \Big[{1 \over 4}; +\infty \Big), \) что соответствует решению под номером 4.
Г) Поскольку \( 1 = \log_{4}{4}, \) то можно записать: $$ \log_{4}{x} \le \log_{4}{4}. $$ Это неравенство равносильно системе: $$
\left\{
\begin{array}{c}
x \le 4, \\
x > 0.
\end{array}
\right.
$$ Следовательно, решением исходного неравенства является полуинтервал \( (0; 4], \) что соответствует решению под номером 1.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Вычисление значений и решение неравенств. ЕГЭ по математике базового уровня
Каждому из четырёх неравенств соответствует одно из решений. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
А) \( \log_{4}{x} \ge 1 \)
Б) \( \log_{4}{x} \le -1 \)
В) \( \log_{4}{x} \ge -1 \)
Г) \( \log_{4}{x} \le 1 \)
РЕШЕНИЯ
| А | Б | В | Г |
Пояснение:
Логарифмом положительного числа b по основанию a \( (\log_{a}{b}) \), где a > 0 и a ≠ 1, называют показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Если a > 1, то неравенство \( \log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)} \) равносильно системе неравенств $$ \begin{equation*}
\begin{cases}
f(x) > g(x),
\\
g(x) > 0.
\end{cases}
\end{equation*}
$$
Если a > 1, то неравенство \( \log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)} \) равносильно системе неравенств $$ \begin{equation*}
\begin{cases}
f(x) > g(x),
\\
g(x) > 0.
\end{cases}
\end{equation*}
$$
А) Поскольку \( 1 = \log_{4}{4}, \) то можно записать: $$ \log_{4}{x} \ge \log_{4}{4}. $$ Это неравенство равносильно такому: $$ x \ge 4. $$ Следовательно, решением исходного неравенства является полуинтервал \( [4; +\infty), \) что соответствует решению под номером 3.
Б) Так как \( -1 = \log_{4}{{1 \over 4}}, \) то можно записать: $$ \log_{4}{x} \le \log_{4}{{1 \over 4}}. $$ Это неравенство равносильно системе: $$
\left\{
\begin{array}{c}
x \le {1 \over 4}, \\
x > 0.
\end{array}
\right.
$$ Следовательно, решением исходного неравенства является полуинтервал \( \Big(0; {1 \over 4}\Big], \) что соответствует решению под номером 2.
В) Так как \( -1 = \log_{4}{{1 \over 4}}, \) то можно записать: $$ \log_{4}{x} \ge \log_{4}{{1 \over 4}}. $$ Это неравенство равносильно такому: $$ x \ge {1 \over 4}. $$ Следовательно, решением исходного неравенства является полуинтервал \( \Big[{1 \over 4}; +\infty \Big), \) что соответствует решению под номером 4.
Г) Поскольку \( 1 = \log_{4}{4}, \) то можно записать: $$ \log_{4}{x} \le \log_{4}{4}. $$ Это неравенство равносильно системе: $$
\left\{
\begin{array}{c}
x \le 4, \\
x > 0.
\end{array}
\right.
$$ Следовательно, решением исходного неравенства является полуинтервал \( (0; 4], \) что соответствует решению под номером 1.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями