Задание №5980.
Вычисление значений и решение неравенств. ЕГЭ по математике базового уровня
Каждому из четырёх неравенств соответствует одно из решений. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
А) \( 2^x \ge 2 \)
Б) \( 0,5^x \ge 2 \)
В) \( 0,5^x \le 2 \)
Г) \( 2^x \le 2 \)
РЕШЕНИЯ
Пояснение:
А) Имеем: $$ 2^{x} \ge 2, $$ $$ 2^{x} \ge 2^1. $$Так как основание степеней \( 2^{x} \) и \( 2^{1} \) больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ x \ge 1. $$ Значит, решением исходного неравенства является полуинтервал \( [1; +\infty), \) что соответствует решению под номером 4.
Б) Так как \( 2 = \Big({1 \over 2}\Big)^{-1} = 0,5^{-1}, \) имеем: $$ 0,5^{x} \ge 2, $$ $$ 0,5^{x} \ge 0,5^{-1}. $$ Поскольку основание степеней \( 0,5^{x} \) и \( 0,5^{-1} \) меньше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ x \le -1. $$ Значит, решением исходного неравенства является полуинтервал \( (-\infty; -1], \) что соответствует решению под номером 3.
В) Так как \( 0,5 = {1 \over 2} = 2^{-1}, \) имеем: $$ 0,5^{x} \le 2, $$ $$ \Big(2^{-1}\Big)^x \le 2^1, $$ $$ 2^{-x} \le 2^1, $$ Так как основание степеней \( 2^{-x} \) и \( 2^{1} \) больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ -x \le 1, $$ откуда \( x \ge -1. \) Значит, решением исходного неравенства является полуинтервал \( [-1; +\infty), \) что соответствует решению под номером 2.
Г) Имеем: $$ 2^{x} \le 2, $$ $$ 2^{x} \le 2^1. $$ Так как основание степеней \( 2^{x} \) и \( 2^{1} \) больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ x \le 1. $$ Значит, решением исходного неравенства является полуинтервал \( (-\infty; 1], \) что соответствует решению под номером 1.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Вычисление значений и решение неравенств. ЕГЭ по математике базового уровня
Каждому из четырёх неравенств соответствует одно из решений. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
А) \( 2^x \ge 2 \)
Б) \( 0,5^x \ge 2 \)
В) \( 0,5^x \le 2 \)
Г) \( 2^x \le 2 \)
РЕШЕНИЯ
| А | Б | В | Г |
Пояснение:
Если a > 1, то неравенство \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) равносильно неравенству \( f(x) > g(x); \) если 0 < a < 1, то неравенство \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) равносильно неравенству \( f(x) < g(x). \)
А) Имеем: $$ 2^{x} \ge 2, $$ $$ 2^{x} \ge 2^1. $$Так как основание степеней \( 2^{x} \) и \( 2^{1} \) больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ x \ge 1. $$ Значит, решением исходного неравенства является полуинтервал \( [1; +\infty), \) что соответствует решению под номером 4.
Б) Так как \( 2 = \Big({1 \over 2}\Big)^{-1} = 0,5^{-1}, \) имеем: $$ 0,5^{x} \ge 2, $$ $$ 0,5^{x} \ge 0,5^{-1}. $$ Поскольку основание степеней \( 0,5^{x} \) и \( 0,5^{-1} \) меньше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ x \le -1. $$ Значит, решением исходного неравенства является полуинтервал \( (-\infty; -1], \) что соответствует решению под номером 3.
В) Так как \( 0,5 = {1 \over 2} = 2^{-1}, \) имеем: $$ 0,5^{x} \le 2, $$ $$ \Big(2^{-1}\Big)^x \le 2^1, $$ $$ 2^{-x} \le 2^1, $$ Так как основание степеней \( 2^{-x} \) и \( 2^{1} \) больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ -x \le 1, $$ откуда \( x \ge -1. \) Значит, решением исходного неравенства является полуинтервал \( [-1; +\infty), \) что соответствует решению под номером 2.
Г) Имеем: $$ 2^{x} \le 2, $$ $$ 2^{x} \le 2^1. $$ Так как основание степеней \( 2^{x} \) и \( 2^{1} \) больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ x \le 1. $$ Значит, решением исходного неравенства является полуинтервал \( (-\infty; 1], \) что соответствует решению под номером 1.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями