Задание №5991.
Вычисление значений и решение неравенств. ЕГЭ по математике базового уровня
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
А) \( {1 \over (x-2)(x-3)}>0 \)
Б) \( 3^{-x+3}>3 \)
В) \( \log_{3}{x}>1 \)
Г) \( {x-3 \over x-2} < 0 \)
РЕШЕНИЯ
1) \( (-\infty;2) \cup (3;+\infty) \)
2) \( (3;+\infty) \)
3) \( (-\infty;2) \)
4) \( (2;3) \)
Пояснение:
А) Если в рациональном неравенстве обе части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое неравенство называется дробно-рациональным неравенством.
Пусть \( P(x) \) и \( Q(x) \) — многочлены. Так как неравенство \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \ \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) равносильно неравенству \( P(x)Q(x) > 0 \) \( (P(x)Q(x) < 0) \), то для его решения можно использовать метод интервалов.
Так как при всех значениях x, при которых дробь \( {1 \over (x-2)(x-3)} \) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \( (x-2)(x-3), \) то данное неравенство равносильно неравенству $$ (x-2)(x-3) > 0, $$ которое можно решить методом интервалов. Отметим на координатной прямой нули функции и знаки дроби в каждом из образовавшихся промежутков.
Следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение интервалов \( (-\infty;2) \cup (3;+\infty), \) что соответствует решению под номером 1.
Б) Если a > 1, то неравенство \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) равносильно неравенству \( f(x) > g(x); \) если 0 < a < 1, то неравенство \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) равносильно неравенству \( f(x) < g(x). \)
Имеем: $$ 3^{-x+3}>3^{1}. $$ Так как основание степеней \( 3^{-x+3} \) и \( 3^{1} \) больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ -x+3 > 1, $$ откуда \( x < 2. \) Значит, решением исходного неравенства является интервал \( (-\infty; 2), \) что соответствует решению под номером 3.
В) Если a > 1, то неравенство \( \log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)} \) равносильно системе неравенств $$ \begin{equation*}
\begin{cases}
f(x) > g(x),
\\
g(x) > 0.
\end{cases}
\end{equation*}
$$ Поскольку \( 1 = \log_{3}{3}, \) то можно записать: $$ \log_{3}{x} > \log_{3}{3}. $$ Это неравенство равносильно такому: $$ x > 3. $$ Следовательно, решением исходного неравенства является интервал \( (3; +\infty), \) что соответствует решению под номером 2.
Г) Если в рациональном неравенстве обе части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое неравенство называется дробно-рациональным неравенством.
Пусть \( P(x) \) и \( Q(x) \) — многочлены. Так как неравенство \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \ \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) равносильно неравенству \( P(x)Q(x) > 0 \) \( (P(x)Q(x) < 0) \), то для его решения можно использовать метод интервалов.
Так как при всех значениях x, при которых дробь \( {x-3 \over x-2} \) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \( (x-3)(x-2), \) то данное неравенство равносильно неравенству $$ (x-3)(x-2) > 0, $$ которое можно решить методом интервалов. Отметим на координатной прямой нули функции и знаки дроби в каждом из образовавшихся промежутков.
Следовательно, множеством решений исходного неравенства является интервал \( (2;3), \) что соответствует решению под номером 4.
Таким образом, А — 1, Б — 3, В — 2, Г — 4.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Вычисление значений и решение неравенств. ЕГЭ по математике базового уровня
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
А) \( {1 \over (x-2)(x-3)}>0 \)
Б) \( 3^{-x+3}>3 \)
В) \( \log_{3}{x}>1 \)
Г) \( {x-3 \over x-2} < 0 \)
РЕШЕНИЯ
1) \( (-\infty;2) \cup (3;+\infty) \)
2) \( (3;+\infty) \)
3) \( (-\infty;2) \)
4) \( (2;3) \)
| А | Б | В | Г |
Пояснение:
А) Если в рациональном неравенстве обе части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое неравенство называется дробно-рациональным неравенством.
Пусть \( P(x) \) и \( Q(x) \) — многочлены. Так как неравенство \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \ \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) равносильно неравенству \( P(x)Q(x) > 0 \) \( (P(x)Q(x) < 0) \), то для его решения можно использовать метод интервалов.
Так как при всех значениях x, при которых дробь \( {1 \over (x-2)(x-3)} \) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \( (x-2)(x-3), \) то данное неравенство равносильно неравенству $$ (x-2)(x-3) > 0, $$ которое можно решить методом интервалов. Отметим на координатной прямой нули функции и знаки дроби в каждом из образовавшихся промежутков.
Следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение интервалов \( (-\infty;2) \cup (3;+\infty), \) что соответствует решению под номером 1.
Б) Если a > 1, то неравенство \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) равносильно неравенству \( f(x) > g(x); \) если 0 < a < 1, то неравенство \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) равносильно неравенству \( f(x) < g(x). \)
Имеем: $$ 3^{-x+3}>3^{1}. $$ Так как основание степеней \( 3^{-x+3} \) и \( 3^{1} \) больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: $$ -x+3 > 1, $$ откуда \( x < 2. \) Значит, решением исходного неравенства является интервал \( (-\infty; 2), \) что соответствует решению под номером 3.
В) Если a > 1, то неравенство \( \log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)} \) равносильно системе неравенств $$ \begin{equation*}
\begin{cases}
f(x) > g(x),
\\
g(x) > 0.
\end{cases}
\end{equation*}
$$ Поскольку \( 1 = \log_{3}{3}, \) то можно записать: $$ \log_{3}{x} > \log_{3}{3}. $$ Это неравенство равносильно такому: $$ x > 3. $$ Следовательно, решением исходного неравенства является интервал \( (3; +\infty), \) что соответствует решению под номером 2.
Г) Если в рациональном неравенстве обе части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое неравенство называется дробно-рациональным неравенством.
Пусть \( P(x) \) и \( Q(x) \) — многочлены. Так как неравенство \( {P(x) \over Q(x)} > 0 \ \Big({P(x) \over Q(x)} < 0 \Big) \) равносильно неравенству \( P(x)Q(x) > 0 \) \( (P(x)Q(x) < 0) \), то для его решения можно использовать метод интервалов.
Так как при всех значениях x, при которых дробь \( {x-3 \over x-2} \) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \( (x-3)(x-2), \) то данное неравенство равносильно неравенству $$ (x-3)(x-2) > 0, $$ которое можно решить методом интервалов. Отметим на координатной прямой нули функции и знаки дроби в каждом из образовавшихся промежутков.
Следовательно, множеством решений исходного неравенства является интервал \( (2;3), \) что соответствует решению под номером 4.
Таким образом, А — 1, Б — 3, В — 2, Г — 4.
Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями