Задание №6600.
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а \( \text{tg} \ BCA = {7 \over 24} \). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Точка O также является центром вписанной окружности, а её радиус r — это высота OH, проведённая из вершины прямого угла к стороне ромба BC.
Поскольку вся диагональ AC = 48, её половина OC равна 24.
Найдем вторую половину диагонали (OB) через тангенс. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \) тангенс угла \( \angle BCA \) — это отношение противолежащего катета OB к прилежащему катету OC: $$ \text{tg} \ \angle BCA = {OB \over OC}. $$ Подставим известные значения: $$ {7 \over 24} = {OB \over 24} \implies OB = 7.$$ Найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора: $$ BC = \sqrt{OC^2 + OB^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = $$ $$ = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25. $$ Вычислим радиус вписанной окружности: высота в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: $$r = {OC \cdot OB \over BC}.$$ $$r = {24 \cdot 7 \over 25} = {168 \over 25} = 6,72. $$ Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями
Геометрическая задача. ОГЭ по математике
Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а \( \text{tg} \ BCA = {7 \over 24} \). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Пояснение:
Введем обозначения, как показано на рисунке ниже.
Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Точка O также является центром вписанной окружности, а её радиус r — это высота OH, проведённая из вершины прямого угла к стороне ромба BC.
Поскольку вся диагональ AC = 48, её половина OC равна 24.
Найдем вторую половину диагонали (OB) через тангенс. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \) тангенс угла \( \angle BCA \) — это отношение противолежащего катета OB к прилежащему катету OC: $$ \text{tg} \ \angle BCA = {OB \over OC}. $$ Подставим известные значения: $$ {7 \over 24} = {OB \over 24} \implies OB = 7.$$ Найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора: $$ BC = \sqrt{OC^2 + OB^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = $$ $$ = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25. $$ Вычислим радиус вписанной окружности: высота в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: $$r = {OC \cdot OB \over BC}.$$ $$r = {24 \cdot 7 \over 25} = {168 \over 25} = 6,72. $$ Показать ответ
Источник: ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий
Сообщить об ошибке
Тест с похожими заданиями